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正确解读教材文本，准确把握教学内容 ————对“方程的根与函数的零点”听课中的几点思考 作
者：
黄之
作者简介：
黄之，广东省肇庆市鼎湖区广利高级中学（611731）.
原发信息：
《中学数学教学》(合肥)2016 年第 20164 期 第 13-16 页
内容提要：
通过观摩三个教师课堂教学，研究者对“方程的根与函数的零点”一课在课程中地位和作用进行了分析，并对该课的教学内容、教学设计提出了自己的想法和建议.进而，研究者对备课以及听课活动进行了反思，并提出了自己的建议.
关
键
词：
教学设计/教学内容/案例分析/方程的根/函数/零点
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2016 年 11 期
一、问题的缘起
日前，笔者在佛山一中观摩了来自广州广雅中学、佛山一中、云浮邓发纪念中学的名师进行“同课异构”课堂教学，罗增儒教授对课堂的师生活动、教材处理、备课的素材准备、重点的确定、难点的突破等方面与授课老师进行互动，给在座的老师带来深刻而鲜明的教育.通过观摩三个教师
课堂教学，结合自己实践中的教学处理，同时也受到罗教授点评的启发，笔者对这节课进行梳理，作进一步的反思.现在写下对这些问题的思考，以期抛砖引玉.
二、关于本节内容在课程中地位和作用的思考
函数与方程是中学数学课程的重要内容，而函数的零点是新课标教材的新增内容之一.教材首先是在学习函数的性质基础上，了解方程的根与函数零点的关系，为用二分法求方程的近似解的学习做好准备，而且从不同的角度揭示数与形、方程与函数之间的本质关系，这种联系正是函数与方程思想的理论基础.然后运用数形结合的思想及转化和化归的思想讨论函数零点的存在性，其目的就是通过函数的零点来研究方程的根，进一步突出函数思想的应用价值，也为用二分法求方程的近似解做好思想上和知识上的准备，使学生体会函数的零点与方程之间的联系，初步形成用函数的概念、性质和观点去分析问题、转化问题和解决问题的意识.对函数与方程的关系的认识过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则.因此，本节课具有承前启后的作用.
三、对教学内容的思考
1.对于方程 f（x）=0 的理解
对方程 f（x）=0 的理解，我们可以从两个方面去分析.一方面，方程f（x）=0 与对应函数 y=f（x）联系，而这正是教材重点揭示的部分；另一方面，将方程 f（x）=0 适当变形为 g（x）=h（x）.
2.对于方程的根与函数零点的理解
3.关于零点存在性定理的理解
函数零点存在性定理是函数在某个区间上存在的零点的充分不必要条件.零点存在性定理指出：如果函数 y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且满足 f（a）·f（b）＜0，则函数 y=f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点.但零点的个数需要结合函数的单调性等性质进行判断.换言之，在满足函数 y=f（x）在区间[a，b]上连续且满足 f（a）·f（b）＜0 的条件下，在区间（a，b）内函数 y=f（x）的零点可能不止一个.这个问题可以通过变换条件以及数形结合的方式加以辨析.
四、关于本节课教学设计的思考
1.对于教学重点与难点的把握
本节课的教学目标是理解方程的根与函数零点的关系，会将求方程的根的问题转化为求相应函数的零点的问题，理解零点存在性定理，并能初步确定具体函数的零点所在的大致区间；经历数形结合分析解决问题的过程，渗透由特殊到一般的认知规律，培养学生观察、分析、抽象、概括、归纳等方面的认知能力.因此教学的重点是：方程的根与函数零点的关系，零点存在性定理及应用.
2.关于教学过程设计的处理
本节课主要解决三个问题：方程的根与函数零点的关系，零点存在性定理的理解，判断一个连续函数在某个区间内存在零点的方法，即运用存在性定理确定零点所在的大致区间.关于第一个问题，主要通过具体的方程如一元二次方程来说明方程的根与相应函数零点的关系；对存在性定理的理解，主要通过数形结合、特例、反例进行准确的把握，至于定理的运用要在具体问题解决的过程进行运用意识的强化.教学路线如下：探究具体的二次方程的根和二次函数图象与 x 轴的关系→探究一般的二次方程的根和二次函数图象与 x 轴的关系→得出一般方程的根和函数的零点的关系→堂上练习 1→探究函数零点存在的条件并得出函数零点的存在性定→求函数f（x）=lnx+2x-6 的零点个数→堂上练习 2→课堂小结和布置作业
3.几个具体问题的教学处理
问题 1 课题引入的处理
一般而言，教学从具体的问题引入比较符合学生的认知规律，比如本节课教材从研究简单一元二次方程问题入手，引出方程的根、函数的图象与 x 轴交点的横坐标的关系，当中对函数的零点这个新概念呼之欲出.当然，如果学生的基础比较扎实，尽可以弄一个复杂一点的一元二次函数来作为引入课题的问题，如求解方程 这样一个学生熟悉但不容易求解的方程，在困难面前“逼”学生“就犯”：将方程问题向函数问题转换！
问题 2 对“求函数 f（x）=lnx+2x-6 的零点个数”安排问题的处理
求函数 f（x）=lnx+2x-6 的零点个数，这是本节课要重点解决的问题，是整节课的问题的核心与焦点.由于在学习零点的存在性定理之前这是
一个难以解决的问题，是可以产生认知冲突的障碍，所以可以把它作为引入处的探究活动的研究对象，由此引出本节课的内容，在学习了存在性定理后顺理成章地解决问题.当然，本问题作为应用存在性定理解决问题的典型，也可以放置在学习完存在性定理之后呈现.
问题 3 对存在性定理理解的处理
教师可以结合图象，诸如以函数 f（x）=（x+2）（x-1）（x-3）来让学生直观认识函数的零点的概念.为加深理解，教师可以引入如下小问题加以探索讨论：
探求 1 如果函数 y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且满足 f（a）·f（b）＞0，则函数 y=f（x）在区间（a，b）内没有零点吗？
探求 2 如果函数 y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且满足 f（a）·f（b）＜0，则函数 y=f（x）在区间（a，b）有零点，但是否只有一个零点？
探求 3 如果函数 y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且满足 f（a）·f（b）＜0，则增加怎样的条件可以确定函数 y=f（x）在区间（a，b）上只有一个有零点？
探求 4 如果函数 y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且函数在区间（a，b）有零点时，一定有 f（a）·f（b）＜0 吗？
探求 5 如果函数 y=f（x）在区间[a，b]上的图象不是一条连续不断的曲线，且函数在区间（a，b）有零点时，一定有 f（a）·f（b）＜0 吗？
通过这些成系列的问题的探究，对定理的条件与结论都进行了深刻剖析，有助于学生正确认识函数零点的存在性定理.
问题 4 对作图法技能的处理
本节课要向学生渗透数形结合的思想，离不开作各种函数的图象，学生也习惯将方程 f（x）=0 适当变形为 g（x）=h（x），在同一个直角坐标系上作出两个函数的图象，通过考察函数 =g（x）和 =h（x）的图象来解决相关问题.但本节课方法的定位却不是这种方法，本节课着重培养学生通过函数的角度去思考问题、解决问题的意识与能力.在得出函数零点存在性定理后，应注重通过计算区间端点函数值、比较函数值符号、借用定理进行正确的判断、推断并解决问题，而不是不断重复“作函数图象”的方法，更何况很多的函数图象是无法徒手作图的.
五、关于数学备课的思考
1.站在学科系统的高度去备课
当前，在备课中一个突出的问题是，过于重视教案及课件，而轻视教材的解读，这实在是舍本逐末.数学老师对中学数学的整个课程体系要有一个系统的认识，必要时要把这个系统延伸到小学和大学数学课程.在上课前，尽可能多地占有各种相关的有益素材，站在学科系统的高度，统筹这些素材，这是上好一节数学课的一个重要前提条件.诚如罗增儒教授在点评环节说，他来听课之前查阅 20 多篇相关的论文、教学设计、微课等，收集了充分的素材.备课，既要备教法、备教学过程，更要备学生、备学法，
只有充分备好、备足上课的情况下，才能备好课、上好课，才能更好地评讲一个教学设计的优劣，才能进行更加深刻的教学反思.
2.关于教学的重点难点
课程的教学重点是由数学的课程目标确定的，是客观存在的，不随主观条件的改变而变化；核心的概念、学科的重要知识、有普遍意义的思想方法等都可以作为教学的重点.教学难点则是随主观条件的改变而变化的，它跟教学的内容的抽象程度、复杂程度等有关，也跟学生的认知能力、学习基础、行为习惯、学习环境等个体因素相关.因此，在教学中要突出重点，围绕课程的目标设置重点，围绕重点内容展开教学，为学生创更合适的条件帮助学生突破难点.
六、关于听课的思考
参加数学教研活动，观摩同行的课堂，是我们数学教师最熟悉的日常教研活动方式之一.虽然当前的一些大型公开课颇受诟病，但不可否认的是这些经过个人或者团队精心打磨的课其中必有一些值得借鉴的地方.听课者是否有明确的听课目的，对发现课堂的精彩、对自我发展和自我提升有着重要的影响.只有带着强烈的目的意识去观摩、去感悟同行的教学课堂，对这些公开课展现的教学目标定位、教学的重点难点、教学设计、教学方法、教学活动和教学过程等进行细致观察，并且在听课过程中多问自己几个问题：执教者对教材的文本解读透彻吗？这节课的重点突出了吗？难点突破了吗？关注了课堂生成资源的利用了吗？教学目标达到了吗？关注了学生的学习了吗？关注了学生的思维发展了吗？师生交流是否有效促进了
教学？学生学习状态如何？等等.罗增儒教授在听课过程中表现出的细腻，值得老师们学习借鉴：课前三两笔画好教室的座位平面图，这是记录师生活动的绝佳二维记录表；听课过程中，仔细划分教学的各个环节，并记上时间进度；记录好哪些学生提出了什么问题、回答了什么问题、进行了哪些展示、对学生的板书及课堂活动的顺序，教师的提问次数、提问的人次、在课室的行走路线位置等进行了简单速记，对精彩之处都作了详细记录.可以说，罗增儒教授对课堂教学的时间和空间进行了全方位的观察，多角度、多层面地思考了数学课堂.如果数学老师都像罗老师那样听课学习，则对个人的专业发展一定是获益良多的.
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