下面是小编为大家整理的落实定理教学育人价值,供大家参考。
落实定理教学的育人价值 作
者：
漆光宗/渠东剑
作者简介：
漆光宗，江苏省南京市文枢中学高中部（210004）；渠东剑，江苏省南京市秦淮区教学研究室（210001）.
原发信息：
《中学数学月刊》(苏州)2015 年第 20154 期 第 41-45 页
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2015 年 08 期
笔者所在区教研室组织同课异构研课活动，课题是“余弦定理”，所用教材是《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修五）》（苏教版），分别由来自区内两所不同学校的甲、乙两位教师执教.两位教师无论在问题的引入，还是数学活动的处理上，都有着明显的不同.课后组织的全区数学教师交流，讨论非常激烈.笔者参与了其中教师乙的前期备课，有了深刻的体会，现场听了两节课和教师之间的讨论交流，又产生了一些新的思考.现对这两节课的一些片断进行对比分析，其主要出发点是教学要立足于发展学生的认知力.
一、教学实录（片断）
1.情境创设引入
师：三角形中有三个角和三条边共六个要素，想要确定一个三角形至少需要其中哪几个要素？
生 1：至少三个要素，而且其中至少有一条边.
师：具体说，有哪几种情形？
生众：三条边，两条边及其中一边所对的角，两条边和它们的夹角，一条边和两个角.（在教师的追问下，几位同学补充回答完整）
师：前面我们学习了正弦定理，并且知道正弦定理反映的就是三角形中的边角关系，可以利用它来解三角形，你知道运用正弦定理可以解决哪几种类型吗？
生 2：一种类型是知道两条边及其一边所对的角，求另一边所对的角；另一种类型是已知一条边和两个角，求余下的边角.
师：也就是说我们已经解决了解三角形的四类问题中的两类，那么接下来我们将研究什么问题呢？
生 3：研究余下的两类问题：已知三边求角和已知两边及其夹角求另外的边角.
师：很好，我们不妨选择其一来研究：已知两边夹角求第三边.
师：修建一条高速公路，需要开凿隧道将一山体打通.现要测量该山体两底侧 A，B 两点间的距离（如图 1），可用工具测量仪（可测距离和角）.如何实施？
生 1：先测出山的高度，然后测出山的侧面与水平面的角度，再算出一段距离，然后转化为直角三角形……
师：可是山是实体的，高度用现在的工具可测吗？
生 1：不可测.
师：不过你的想法很好，将实际问题转化到三角形中去研究，能否调整一下，有没有其他办法？
（学生思考讨论，然后给出方案）
生 2：从 A，B 两点拉两条线，使两条线成直角.
师：（在黑板上画出图 2）假设这是点 A，这是点 B，分别从 A，B两点出发拉两条线，使这两条线正好成直角，交点是 C.
生 2（接着说）：然后量出 AC 和 BC 的长，利用勾股定理计算 AB 的长.
师：想法也很好，不过你从 A，B 引出的两条线相交，怎么保证刚好成直角？
生 2：哦，好像也不太好操作.
师（追问）：万一偏一点，AC 与 BC 不垂直，是不是这个问题就不能解决了？我们手头有哪些工具？
生 3：不一定是直角，但这个角我们可以量出来.
师：也就是说这个角我们可以知道.这样一来，在这个三角形中我们已经知道了哪几个条件？可转化为一个什么问题？
生众：已知三角形中的两条边及其夹角，求第三条边.
师：（画出图 3）即转化为如下的一般问题：如图 3，在△ABC 中，已知边 a，b 及角 C，求边 c 的长.
2.数学探究活动
师：例如，在△ABC 中，若给出边 AC，AB 和它们的夹角 A，如何求第三边 BC？我们不妨也来仿照正弦定理的研究方法加以研究.请同学们回忆一下，前面我们在研究正弦定理的时候是如何证明的？（教师作出图4）
生 4：构造直角三角形，利用角 B 和角 C 的正弦值（对边比斜边），消去对边 AD，可证明.
生 5：还可以用向量法证明.作 AD⊥BC，在等式 两边同乘以向量，把向量等式转化为数量等式，可以证明.
师：很好，向量的数量积是将向量等式转化为数量等式的常用工具.在这里，如何利用向量法求出第三边 BC 呢？
生 6：因为我们已经知道了 AC，AB 的长以及它们的夹角，先把表示：
师：至此，如何出现 BC 的长？
生众：两边平方.
师：如图 3，在△ABC 中，已知边 a，b 及角 C，求边 c 的长.你有什么方案？
（学生尝试，教师巡视发现学生有困难）
师：对于一个一般问题解决起来有困难，我们通常会怎么办？
生 4：从具体或特殊的问题出发，看看有什么办法，然后再延伸到一般情况.
师：（给出图 5）这种想法很好，我们先看一个具体的问题，例如：已知 AC=4，BC=7，C=120°，求 AB 的长.你有什么解决方案？
师：在后边这个等式中，共有几个量？几个已知，几个未知？
生 5：四个量，有两个已知，两个未知，好像解不出来！
生 6：可以解出来，因为 C=120°，所以 A=60°-B，等式中只有一个未知量 B 了，应该可解.
师：（在黑板上写出 ）很好，这位同学减少变量的意识很强.不过观察这个式子，达到减元目的了吗？能否求出角 B？
生 6（接着说）：哦，会得到一个关于 sinB 和 cosB 的等式，好像还是不行……
生 7：还有一个关系 ，两个式子联立可解出 sinB.
师：不错！这样就可以求出边 AB 了，刚才连续使用了两次正弦定理，还用到两角差的正弦公式，运算量应该不小，不过显然问题已经可以解决了！大家还有什么方案吗？
（思路 1：转化为直角三角形）
生 8：延长 BC，从 A 引出一条 BC 的垂线.
师：（作图 6）就是过 A 作 BC 的高，垂足为 D.
生 8（接着说）：在直角三角形 ADC 中，利用角 C（60°）的余弦和正弦可分别求出 DC 和 AD 的长，再在直角三角形 ADB 中由勾股定理可求 AB.
（思路 2：利用平面向量证明）
（思路 3：建议直角坐标系，利用坐标法证明）
师：不错，很有思想！下面请几位同学到黑板上利用刚才自己的方案具体地解决这个问题，下面的同学，选择其中一种或几种方案进行操作.
（学生解答后，教师通过实物投影带领学生展示、纠错、完善）
师：刚才我们用多种方法探讨并解决了一个已知两边夹角的具体问题.对于一般的问题：“对任意△ABC，已知边 a，b 和角 C，求 c 边”，根据刚才的探究，你能猜到一个什么样的结论？
生 11：
师（追问）：要是已知边 a，c 和角 B 呢？已知边 b，c 和角 A 呢？
师（继续追问）：如果已知三边 a，b，c，还可以求什么呢？
（教师引导学生分析能否运用在具体问题中的各种解决方法对一般情形加以证明，过程中哪些环节需要调整完善，并探讨这三个等式对任意三角形是否都成立）
师：我们把刚才猜出并证明的这几个与余弦有关、反映三角形中边角关系的结论（公式）叫作余弦定理.下面请大家观察公式在结构上有什么特征？
二、对比分析
1.情境引入的不同视角思考
两位教师的引入方法迥异，教师甲是从数学问题内部的逻辑关系出发，从数学知识发展的逻辑必然性中自然而然地提出问题.就本课而言，学生前面已经掌握了确定三角形的条件，了解了解三角形的几种可能情形，并学习了正弦定理，知道利用正弦定理已经能够解决其中的两类问题，自然而然地提出了接下来需要研究的方向.教师乙则从一个测量不可及的两点间距离的实际问题出发，在学生自己试着拿出方案、建构模型的过程中提出问题.
教师甲的引入，突出以数学知识的发生发展过程和理解数学知识的心理过程为基本线索，从数学知识发展的逻辑必然性中自然而然地提出问题，不仅能很好地体现数学教学的核心任务——数学地认识问题和解决问题，而且有利于为学生建构前后一致逻辑连贯的学习过程.从系统地研究数学对象的基本套路来看，就当前的解三角形问题，已经研究了两类，但还
没有研究完，接下来应该研究什么？还有哪些问题没有解决、怎样解决？这是自然要面对和思考的问题.这种建立在对已学知识的审视基础上的思考和提问，有利于培养学生的数学理性思维精神，有利于产生自主探究学习的倾向，有利于发展学生的认知力.当然，就数学问题的引入，还可以节约时间成本，少走弯路直达目标.
教师乙从实际问题引入，可能更有利于发展学生的数学应用意识，更好地体现余弦定理可以作为解决测量问题的一种方法和工具，更有利于培养学生的实践能力和建模能力.课程标准在课程的基本理念中提出了发展学生的数学应用意识的理念，要求高中数学在数学应用和联系实际方面需要大力加强，建议重视余弦定理在探索三角形边角关系中的作用，引导学生认识它们是解决测量问题的一种方法.《高中数学教学参考书 5》（配苏教版普通高中课程标准实验教科书）在这一章的设计意图中这样叙述：“……注重数学知识的应用性，体现学以致用的原则，让学生自主体验数学在解决问题中的作用，提高学生的分析问题和解决问题的能力，培养数学应用意识.”因此从本章的内容安排以及教学意图来看，解三角形的教学还承担着一项重要的教育价值：培养学生的实践能力和建模能力.
在课后的交流讨论中，大家对这两种引入方法的意见也有分歧.笔者认为对这两种引入方法需要辩证地看待.情境的设置既要基于学生的现实，又要为教学内容和学生的思维发展服务.不同的课型、不同的顺序安排，应该选择不同的情境引入方法.
以本课的前一课“正弦定理”来说，还没有建立起数学内部的逻辑关系，为什么要研究解三角形？教师直接给出似乎显得有些生硬，有种从天而降的突兀.这时从生活实际问题中提出问题可能更自然.而且正弦定理作为本章的开篇课，从实际问题引入还可以更好地承担起本章培养学生实践能力和建模能力的教育功能.但余弦定理是在研究了正弦定理之后，已经建立起解三角形这一数学问题内部的逻辑关系，为不打断学生的思维逻辑，更好地建构认知网络、完善认知结构，可能更适合于从数学内部提出问题.如此看来，两种引入各有利弊，重要的是我们要权衡统筹、恰当选择、准确把握，让情境引入更贴切、更富有成效.
2.基于数学育人的数学活动分析
教师甲带着学生直奔主题，通过大量的例题对定理、公式加以应用训练，课堂结构看上去完整饱满，从课后反馈的情况来看效果也不错，但从学生长远发展来看可能得不偿失.
教师乙的处理在揭示数学结论的形成过程中花了很长时间，并不急于把定理、公式固化下来然后加以变形、应用，而是从一个具体问题的解决中，让学生不断探索、发现、拿方案、操作验证并不断纠正完善，直到最后才“点睛”成型.虽然就这一节课而言不够“完整”，定理公式都没来得及辨析及变形更谈不上应用，但笔者认为学生经历对数学结论的“再发现”（重复或模拟结论的发现）的过程，不仅使学生了解原理结论的由来，强化对结论具体内容的理解和记忆，而且可以充分发挥学生学习的主观能动性，培养学生科学发现的能力.
波利亚指出：“要让学生看到数学建造过程中的‘脚手架’，而不是数学的现成品.”数学中的定理、公式是揭露和反映数学概念本质属性及属性间联系的一种重要形式.而定理、公式课的教学，不单纯是让学生知道和了解定理和公式本身，定理、公式的探索过程更是学生思维提升和思维训练的良好素材，这一过程更具“育人”功能.因为一旦错过了这种在新情景、完全陌生情境下的探索发现过程，后续是无法弥补的，而定理、公式的应用还可以通过习题课来加以巩固和强化.
三、几点思考
1.从学生发展的角度处理教学过程中的矛盾
在课堂教学中我们经常会碰到探究性与完整性、预设与生成之间的矛盾.解决这一矛盾的出发点是立足于促进学生的发展，具体地，要努力促进学生的自主学习，甚至要基于学生的探究倾向帮助学生完成数学探究学习[1，2]
在片段二中教师甲问：“我们不妨仿照正弦定理的研究方法加以研究，……前面我们在研究正弦定理的时候，是如何证明的？……如何利用向量法求出第三边 BC 呢？”问题抛出来后，教师急于拉着学生按照教师的预设进行，其实学生并没有经历自己阅读、吸收、加工、判断、选择、调整等一系列的思维过程.看上去是教学在教师的启发引导下有序进行着，但事实上这种“强拖硬拉”式的生成不是真正的有效生成，而且还禁锢了学生的思维.长此以往，不仅学生的探究性思维能力得不到提高，而且这种方式会让学生逐渐养成被动接受、不爱动脑筋的坏习惯.
2.善于捕捉即时生成的教学资源
再如，对“已知 AC=4，BC=7，C=120°，求 AB 的长”这一问题，学生提出的首个方案本不在教师的前期预设之中，当学生提出根据正弦定理得 之后，教师乙很有教学机智，在接下来的一连串追问（在这个等式中共有几个量？几个已知，几个未知？观察这个式子，达到减元目的了吗？能否求出角 B？）下，学生们共同探索，逐步完善，终于拿出了一个可行的方案.虽然这个方案需要连续两次使用正弦定理，还要用到两角差的正弦公式和同角关系式，感觉运算量较大，不过显然问题已经可以解决了.更为可贵的是这一过程强化了学生的减元意识，复习了三角函数中的主要知识，提升了学生分析问题、解决问题的能力，很好地体现了“数学育人”的价值，放大了教学功效.
3.提高对公式定理教学的认识
从公式探究过程中的育人价值[3]看，定理公式课的教学更应突出定理公式的发现、探索和证明的过程.本课中教师乙在公式定理的探究过程中舍得花时间，引导学生从特殊到一般，各自拿出不同的解决方案并进行操作实施，进行了充分的探究、比较，而不是直接告知，在定理公式的发现、探索和证明的过程中训练了学生思维、提升学生能力，较好地发挥了定理公式课的育人价值.
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